双曲线和标准方程

2.2.1双曲线和标准方程

一、教材分析本节内容选自新课标人教A版数学选修1-1

第二章圆锥曲线与方程第二节双曲线的第一课时，是继学生学习了圆、椭圆之后运用坐标法研究几何问题的又一次实际演练，也是进一步研究双曲线几何性质的基础，为进一步研究抛物线提供了基本模式和理论基础。

二、教学分析双曲线的定义与椭圆的定义很相似，但不容易掌握，在此教学中要先画出曲线，通过画图加深对曲线上的点所满足的几何条件的认识，学习时要注意和椭圆联系与区别。在建立双曲线的标准方程时，类比椭圆标准方程的教学，进一步体会坐标法。

三、教学目标

(一)知识技能目标

1、了解双曲线的定义

2、能根据已知条件求出双曲线的标准方程

(二)过程性目标：

1、提高运用坐标法解决几何问题的能力及运算能力

2、培养学生利用数形结合的思想方法研究问题

3、培养学生的观察能力，类比推理能力、归纳能力、探索发现能力

(三)情感、价值观目标

1、亲身经历双曲线及其标准方程的获得过程，感受数学美

2、通过探索，体会探索成功的喜悦，提高对数学的兴趣

四、教学重难点重点：双曲线的定义及其标准方程；难点：准确理解表述双曲线的定义，双曲线标准方程的推导和化简.

五、教学过程

(一)回顾问题：椭圆的定义是什么？思考：与两个定点距离的“差”为非零常数的点的轨迹是什么？

(二)感受双曲线形成

1、取一条拉链，拉开一部分，在拉开的一边上取其端点，在另一边的中间部分取一点，分别固定在纸上的两个定点F1和F2处，(注意F1F2的距离要比拉链两点的差要大)，把笔尖搭在拉链头M处，随着拉链的拉开或闭合，笔尖就画出一条曲线(A)(B)

2、动画演示，直观感受图形注：演示图中|MF1|-|MF2|F1F2|

(三)探索双曲线的定义(类比椭圆定义)

1、定义：平面内与两个定点F

1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点轨迹叫做双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点之间的距离叫做焦距

2、理解：“常数”：小于F1F2A.若等于F1F2呢？(动画演示)(以F

1、F2为端点的两条射线)B.若大于F1F2呢？(无轨迹)(通过图观察，拉链演示)“绝对值”：去掉“绝对值”，|MF1|-|MF2|=2a如图，若|MF1|-|MF2|=-2a，则|MF1|-|MF2|0，M在双曲线的右支上去掉“绝对值”点的轨迹为双曲线的一支O图2.2-2图2.2-

33、试一试：请说出下列方程对应曲线的名称：(1)F1(-7,0),F2(7,0),|PF1|-|PF2|=10(双曲线)(2)F1(-7,0),F2(7,0),|PF1|-|PF2|=10(双曲线右支)(3)(椭圆)(4)(以(0，4)为端点，沿着y轴正向的一条射线)

(四)类比椭圆，探求双曲线的标准方程问题：椭圆的标准方程是怎么样的？怎么推导而来？

1、回忆椭圆标准方程的建立：建系、设点、列式、化简

2、以焦点在_轴上为例(图2.2-2)(1)建系.以F1,F2所在的直线为_轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系(2)设点.设M(_,y)是双曲线上任意一点,双曲线的焦距为2c(c0),则焦点坐标为F1(-c,0),F2(c,0)，又设点M与F

1、F2距离的差的绝对值等于常数2a(3)列式由定义有|MF1|-|MF2|=2a，|MF1|-|MF2|=2a即(类比建立椭圆方程的化简)(4)化简.得由双曲线的定义知，即，所以类比椭圆建立过程，我们令，代入上式，得()我们把方程()称为双曲线的标准方程.它表示焦点在轴上，焦点分别是，这里，.“标准”：中心在坐标原点，焦点在坐标轴上

3、思考，类比焦点在y轴上的椭圆标准方程的建立，如图2.2-3，双曲线的焦点分别是，的意义同上，这时双曲线的标准方程是什么？对比焦点在_轴上和y轴上的双曲线定义|MF1|-|MF2|=2a(02a|F1F2|)图形焦点坐标标准方程a.b.c的关系，不一定大于，确定焦点位置不能像椭圆那样通过比较分母大小来判断焦点在哪个轴上看系数正负,右边等于1时,哪个系数正,焦点就在对应坐标轴上(焦点看正负)

4、练一练双曲线，a=_,b=_,焦点坐标是_；焦距是_.双曲线，a=_,b=_,焦点坐标是_；焦距是_.双曲线4_2-9y2+36=0,a=_,b=_,焦点坐标是_；焦距是_.

(五)知识应用

1、例1：求焦点在_轴上，a=4,b=3的双曲线的标准方程

2、例2：已知双曲线焦点的坐标为F1(-5,0),F2(5,0)，双曲线上一点P到F1,F2的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程。解：可直接利用定义求标准方程双曲线的焦点在上，设双曲线的标准方程为，所以.双曲线的标准方程为总结：定位，找关系()，列方程

(七)总结

1、双曲线定义的形成和方程的推导，蕴含着运动变化的观点和研究曲线的基础方法：坐标法

2、主要数学思想：数形结合、等价转化、类比思想

(八)课后作业思考作业：教材习题2.2A组第2题思考：对比椭圆和双曲线找出区别和联系